Как экранировать кавычки в JavaScript?

Нужно просто указать такие же кавычки внутри кавычек и что бы не было никаких конфликтов, то есть есть текст в кавычках, и там есть еще слово в кавычках: “ Какой то очень “большой” текст.”

Да очень просто, нужно просто перед кавычкой или кавычками проставить обратный слеш - \, это и служит экраном:

var strVar = "Какой то очень \"большой\” текст.";

alert(strVar);

var strVar2 = 'Какой то очень \'большой\' текст.';

alert(strVar2);

var strVar3 = "Какой то очень 'большой' текст.";

alert(strVar3);

var strVar4 = 'Какой то очень "большой" текст.';

alert(strVar4);

Экранировать стоит те кавычки которые похожи на те которыми вы выделили значение строки, например если вы записали значение строковой переменной в двойные кавычки и внутри что то пишете в двойных кавычках, то следует экранировать именно двойную кавычку, если использовать одинарную то можно не экранировать, тоже самое и наоборот.
Экранирование можно использовать на любом символе, и кстати сам символ экранирования тоже следует экранировать:

var strVar = "\\";

alert(strVar);

Если экранировать отдельные символы которые не являются зарезервированными словами или выражениями то ничего не произойдет)

var strVar = "\а";

alert(strVar);